c55Math4833

統計分析習題彙整

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本項筆記為修習碩士班課程撰寫之課程筆記，主要用於準備考試之用途，故無完整收錄課程內容，如有錯誤歡迎提供修正建議。
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課程使用之教科書為：

Douglas C. Montgomery and George C. Runger . Applied Statistics and Probability for Engineers, 7th Edition. https://www.wiley.com/en-us/applied-statistics-and-probability-for-engineers-7th-edition-p-9781119400363

C2

2.1.25

Complete Response ()Total
Ribavirin plus interferon alfa ()1621
Interferon alfa619
Untreated controls020
  • a.
    1. A 事件的總和
  • b.
    1. A 事件和 B 事件交集 (AND，同時發生)
  • c.
    1. A 事件和 B 事件的聯集 (OR)
  • d.
    1. A’ 事件和 B’ 事件的交集 (AND，同時不發生)
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:

2.2.7

  • 不放回抽樣，與順序無關，使用組合方法（Combination）

  • 共 140 個樣本，10 個不合格，130 個合格

  • a. How many different samples are possible?

    1. 求所有可能的組合數
    2. 140 chips 中選 5 chips 的組合數

  • b. How many samples contain exactly one nonconforming chip?

    1. 求恰好 1 個不合格的組合數
    2. 10 個不合格 chips 中選 1 個，130 個合格 chips 中選 4 個

  • c. How many samples contain at least one nonconforming chip?

    1. 求至少 1 個不合格的組合數
    2. 總組合數 - 全合格 chips 的組合數

2.2.14

  • 不放回抽樣，與順序無關，使用組合方法（Combination）

  • 共 12 個樣本，2 個不合格，10 個合格

  • a. How many samples contain exactly 1 nonconforming part?

    1. 求恰好 1 個不合格的組合數
    2. 2 個不合格中選 1 個，10 個合格中選 2 個

  • b. How many samples contain at least 1 nonconforming part?

    1. 求至少 1 個不合格的組合數
    2. 有不合格的組合數 = 總組合數 - 全合格的組合數

2.2.15

  • 有順序，使用排列方法（Permutation）

  • 共 12 個樣本，3 個 knee (K)、4 個 hip (H)、5 個 shoulder (S)

  • 意即：{KKKHHHHSSSSS}

  • a. How many different sequences are possible?

    1. 求所有可能的排列數
    2. 相同類型的手術彼此不區分，多重排列
    3. 全排列數重複排列數

  • b. How many different sequences have all hip, knee, and shoulder surgeries scheduled consecutively?

    1. 求所有同類連續下的排列數
    2. 共 K, H, S 三類，將其視為三個區塊，而區塊內元素皆為同類（只有 1 種排列）。

  • c. How many different schedules begin and end with a knee surgery?

    1. 求以 K 開始與結束的排列數
    2. 首固定為 K，尾固定為 S，中間排列 10 個
    3. 所以中間的 10 個元素中，有 1 個 K、4 個 H，5 個 S
    4. 全排列數重複排列數

2.3.8

  • 共 100 個樣本，70 個 High Shock (A)、75 個 High Scratch (B)
Shock Resistance
High ()Low
Scratch ResistanceHigh ()709
Low165
  • a.
    1. A 事件發生的機率
  • b.
    1. B 事件發生的機率
  • c.
    1. A’ 事件不發生的機率（A 事件不發生）
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:
  • d.
    1. A 和 B 事件同時發生的機率
  • e.
    1. A 和 B 事件聯集的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:
  • f.
    1. A’ 和 B 事件聯集的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:

2.3.12

Hospital:1234 ()Total
Total5,2926,9915,6404,32922,252
LWBS ()195270246242953
Admitted1,2771,5586669844,485
Not admitted3,8205,1634,7283,10316,814
  • a.
    1. A 和 B 事件同時發生的機率
  • b.
    1. A’ 事件不發生的機率（A 事件不發生）
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:
  • c.
    1. A 和 B 事件聯集的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:
  • d.
    1. A 和 B’ 事件聯集的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:
  • e.
    1. A’ 和 B’ 事件同時發生的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:

2.4.2

  • a.
    1. A’ 事件不發生的機率（A 事件不發生）
  • b.
    1. A 和 B 事件聯集的機率
  • c.
    1. A’ 和 B 事件同時發生的機率
  • d.
    1. A 和 B’ 事件同時發生的機率
  • e.
    1. A 和 B 事件聯集的補集的機率
  • f.
    1. A’ 和 B 事件聯集的機率

2.4.8

  • 4 colors ( C), 3 font types (T), 5 font sizes (S), 3 images (I), 5 text phrases (P)

  • 指 C 為 red； 指 S 不是最小的

  • 所有可能的組合數：

  • a.

    1. A 和 B 事件聯集的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:

  • b.

    1. A 和 B’ 事件聯集的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:
    4. 算法 2:

  • c.

    1. A’ 和 B’ 事件聯集的機率
    2. 算法 1:
    3. 算法 2:
    4. 算法 3:

2.5.1

  • 共 300 個樣本，243 個完成 color transformation (A)、256 個完成 textural transformation (B)

  • a. If a leaf completes the color transformation, what is the probability that it will complete the textural transformation?

    1. 求完成 color transformation 的樣本中，完成 textural transformation 的機率：

  • b. If a leaf does not complete the textural transformation, what is the probability it will complete the color transformation?

    1. 求未完成 textural transformation 的樣本中，完成 color transformation 的機率：

2.5.4

  • 共 107 個樣本。55 個有 gas leaks (A)、72 個有 electrical failure (B)

  • a. That failure involves a gas leak

    1. 求有 gas leaks 的機率：

  • b. That there is evidence of electrical failure given that there was a gas leak

    1. 求有 gas leaks 的樣本中，有 electrical failure 的機率：

  • c. That there is evidence of a gas leak given that there is evidence of electrical failure

    1. 求有 electrical failure 的樣本中，有 gas leaks 的機率：

2.5.6

  • 共 500 個樣本，5 個 defective、495 個 acceptable。

  • 每次隨機選 2 個樣本，不放回抽樣，與順序無關，使用組合方法（Combination）

  • a. What is the probability that the second one selected is defective given that the first one was defective?

    1. 求第一個 defective 後，第二個 defective 的機率：
    2. 算法 1:
      1. 第一個 defective 後，剩下 4 個 defective，499 個樣本。
    3. 算法 2:

  • b. What is the probability that both are defective?

    1. 求兩個 defective 的機率：
    2. P(\text{defective 1st})\times P(\text{defective 2nd})$

  • c. What is the probability that both are acceptable?

    1. 求兩個 acceptable 的機率：
    2. P(\text{acceptable 1st})\times P(\text{acceptable 2nd})
    3. 第一個 acceptable 後，剩下 494 個 acceptable，498 個樣本。

  • d. What is the probability that the third one selected is defective given that the first and second ones selected were defective?

    1. 求第一個和第二個 defective 後，第三個 defective 的機率：
    2. 算法 1:
      1. 當第一個和第二個 defective 後，剩下 3 個 defective，498 個樣本。
    3. 算法 2:
      1. 當第一個和第二個 defective 後，剩下 3 個 defective，498 個樣本。

  • e. What is the probability that the third one selected is defective given that the first one selected was defective and the second one selected was okay?

    1. 求第一個 defective 和第二個 acceptable 後，第三個 defective 的機率：
    2. 算法 1:
      1. 當第一個 defective 和第二個 acceptable 後，剩下 4 個 defective，498 個樣本。
    3. 算法 2:
      1. 當第一個 defective 和第二個 acceptable 後，剩下 4 個 defective，498 個樣本。

  • f. What is the probability that all three are defective?

    1. 求三個 defective 的機率：

2.6.5

  1. 求有 edge roughness 的機率：
  2. 已知：
  3. 並且：
  4. 故：

    其中：
    • A = edge roughness
    • B = new blades
    • C = average sharpness
    • D = worn blades

2.7.8

  • 已知，有 4 個對手（假設分別為 a, b, c, d），每個對手 ，且為獨立事件 (independent)。但是，若玩家被打敗（），則遊戲結束。

  • a. What is the probability that a player defeats all four opponents in a game?

    1. 求玩家 defeat 所有 4 個對手的機率：
    2. 由於為獨立事件：

  • b. What is the probability that a player defeats at least two opponents in a game?

    1. 求玩家 defeat 至少 2 個對手的機率：
    2. 算法 1:
      2. （第一局就被打敗）
      3. （第一局勝利，第二局被打敗）
    3. 算法 2:

  • c. If the game is played three times, what is the probability that the player defeats all four opponents at least once?

    1. 求玩家至少在 3 次遊戲中，至少有 1 次 defeat 所有 4 個對手的機率：
    2. 可解讀為所有機率減去都沒有 defeat 所有 4 個對手的機率：
    3. 而 defeat 所有 4 個對手的機率（）已在 a 中計算過。故沒有 defeat 所有 4 個對手的機率：
    4. 3 次遊戲中，都沒有 defeat 所有 4 個對手的機率：

2.7.11

flowchart LR
  start1 --> a[A0.9] --> mid1 --> b[C0.9] --> mid2 --> c[E0.8] --> end1
  start1 --> d[B0.95] --> mid1 --> e[D0.95] --> mid2 --> f[F0.9] --> end1
  start1[ ]
  mid1[ ]
  mid2[ ]
  end1[ ]
  style start1 fill:none,stroke-width:0px,opacity:0
  style mid1 fill:none,stroke-width:0px,opacity:0
  style mid2 fill:none,stroke-width:0px,opacity:0
  style end1 fill:none,stroke-width:0px,opacity:0
  • 由題可知，求
  • 各 device 的機率為獨立事件。
  • 故

2.8.1

  • 已知：

  • 並且：

  • a. What is the probability that a product attains a good review?

    1. 求 good review 的機率：

  • b. If a new design attains a good review, what is the probability that it will be a highly successful product?

    1. 求 good review 的機率下，highly successful 的機率：

  • c. If a product does not attain a good review, what is the probability that it will be a highly successful product?

    1. 求 not good review 的機率下，highly successful 的機率：

2.8.7

  • 已知：

  • 並且：

  • 求 Color=blue 的機率下，來自 search site 的機率：

2.S19

  • 共 20 個 bolts，5 個 not torqued，15 個 torqued。

  • 每次隨機選 4 個 bolts，不放回抽樣，與順序無關，使用組合方法（Combination）

  • a. What is the probability that all 4 of the selected bolts are torqued to the proper limit?

    1. 求 4 個 torqued 的機率：

  • b. What is the probability that at least 1 of the selected bolts is not torqued to the proper limit?

    1. 求至少 1 個 not torqued 的機率：

C3

3.1.10

3.1.17

  • 由題可知，、、
  • 由於為獨立事件，且為離散型隨機變數。

3.3.1

  1. 已知，
  2. 故平均值 (mean)：
  3. 變異數 (variance)：

3.3.6

  1. 已知上表為 Nickel Charge 的機率分佈表（PDF）。為離散型隨機變數。
  2. 求 Nickel Charge 的累積分佈函數 (CDF)：
  3. 求 Nickel Charge 的平均值 (mean)：
  4. 求 Nickel Charge 的變異數 (variance)：

3.3.8

  • 已知：
    • 為離散型隨機變數。
  1. 求 Carbon Dioxide 的平均值 (mean)：
  2. 求 Carbon Dioxide 的變異數 (variance)：

3.5.1

  • 二項式分配條件：
    • 只有兩種可能結果
    • 試驗次數固定 n 次
    • 每次試驗的成功機率 p 相同 (每次試驗獨立)
  1. 符合：
    • 只有兩種可能結果
    • 試驗次數固定 n 次 (30 selected)
    • 每次試驗的成功機率 p 相同 (每次試驗獨立)
  2. 不符合：
    • 只有兩種可能結果
    • 試驗次數固定 n 次
    • 每次試驗的成功機率 p 相同 (without replacement，造成每次試驗機率不同 > 不獨立)
  3. 不符合：
    • 只有兩種可能結果
    • 試驗次數固定 n 次
    • 每次試驗的成功機率 p 相同 (各元件的故障機率不同)
  4. 不符合：
    • 只有兩種可能結果 (可能有超過兩種可能結果)
    • 試驗次數固定 n 次 (無試驗次數概念)
    • 每次試驗的成功機率 p 相同 (機率不確定)
  5. 不符合：
    • 只有兩種可能結果
    • 試驗次數固定 n 次
    • 每次試驗的成功機率 p 相同 (可排除某些選項，使試驗成功機率不同)

3.5.7

  • 已知，，且為獨立事件。重複試驗 10 次。為離散型隨機變數。
  • 屬二項式分配題型。其中，、。
  1. 求 exactly 3 calls 的機率：

    binomPdf(10,0.4,3)=nCr(10,3)(0.4)^(3)(0.6)^(10-3)
  2. 求 least 1 call 的機率：

    1-binomPdf(10,0.4,0)=1-nCr(10,0)(0.4)^(0)(0.6)^(10-0)
  3. 求 expected number of calls：

3.5.10

  • 已知，。為獨立事件。重複試驗 20 次。為離散型隨機變數。
  • 屬二項式分配題型。其中，、。
  1. 求 exactly 3 individuals by outside factors 的機率：

    binomPdf(20,0.13,3)=nCr(20,3)(0.13)^(3)(0.87)^(20-3)
  2. 求 least 3 individuals by outside factors 的機率：

    binomCdf(20,0.13,3,20)=∑((nCr(20,i)(0.13)^(i)(0.87)^(20-i)),i,3,20)
  3. 求平均值 (mean) 和標準差 (standard deviation)：

3.5.11

  • 已知，。為獨立事件。重複試驗 100000 次。為離散型隨機變數。
  1. 二項式分配題型。其中，、。
  2. 求 no hits 的機率：

    binomPdf(10^(5),((10^(4))/(36^(6))),0)=nCr(10^(5),0)((10^(4))/(36^(6)))^(0)(1-((10^(4))/(36^(6))))^(10^(5))
  3. 求平均值 (mean) 和變異數 (variance)：

3.8.1

  • 已知，為泊松分布題型。其中，。
  1. mean = 4：
    1. 求 的機率：

      poissPdf(4,0)=((4)^(0)/0!)*e^(-4)
    2. 求 的機率：

      poissCdf(4,0,2)=∑(((@e^(−4)*(4)^(i))/(i!)),i,0,2)
    3. 求 的機率：

      poissPdf(4,4)=((@e^(−4)*(4)^(4))/(4!))
    4. 求 的機率：
      poissPdf(4,8)=((@e^(−4)*(4)^(8))/(8!))
  2. mean = 0.4

3.8.2

  • 已知，為泊松分布題型。其中，。
  1. 求 exactly 5 calls in one hour 的機率：

    poissPdf(10,5)=((10)^(5)/5!)*e^(-10)
  2. 求 3 or fewer calls in one hour 的機率：

    poissCdf(10,0,3)=∑(((@e^(−10)*(10)^(i))/(i!)),i,0,3)
  3. 求 exactly 15 calls in two hours 的機率：
    ：
    poissPdf(20,15)=(@e^(−20)20^(15))/(15!)
  4. 求 exactly 5 calls in 30 minutes 的機率：
    ：
    poissPdf(5,5)=(@e^(−5)5^(5))/(5!)

3.8.8

  • 已知，為泊松分布題型。其中，。
  1. 求 no views in a minute 的機率：

    poissPdf(1.5,0)=((1.5)^(0)/0!)*e^(-1.5)
  2. 求 2 or fewer views in 10 minutes 的機率 （）：

    poissCdf(15,0,2)=∑(((@e^(−15)*(15)^(i))/(i!)),i,0,2)
  3. 不會影響。因為泊松分布需要滿足獨立性，且不受時間長度影響。 (機率不受時間長度影響)
  4. 求 no views in 1.5 * x minutes 的機率：

3.8.9

  • 已知，為泊松分布題型。其中， @ 。
  1. 求 no surface flaws 的機率：

    poissPdf(0.05*10,0)=((0.05*10)^(0)/0!)*@e^(-0.05*10)
  2. 求 none of the 10 cars has any surface flaws 的機率
    1. 用二項式分配解。其中，
      1. 算法 1. (10 台車都沒缺陷)：

        binomPdf(10,0.6065,10)=nCr(10,10)(0.6065)^(10)(1-0.6065)^(10-10)
      2. 算法 2. (0 台車有缺陷)：

        binomPdf(10,1-0.6065,0)=nCr(10,0)(0.3935)^(0)(1-0.3935)^(10-0)
    2. 用泊松分配解。其中，；：

      poissPdf(5,0)=((5)^(0)/0!)*@e^(-5)
  3. 求 at most 1 car has any surface flaws 的機率：

3.8.10

  • 已知，為泊松分布題型。其中，。
  1. 求 at least 1 inclusion 的機率：

    1-poissPdf(2.5,0)=1-(@e^(−2.5)(2.5)^(0))/(0!)
  2. 求 at least 5 inclusions in 5.0 cubic millimeters 的機率（）：
  3. 求 的體積：
  4. 求 的 ：

C4

4.1.5

  • 已知，機率密度函數 for 。為連續型隨機變數。

  1. ∫(1.5*x^(2),x,0,1)

  2. ∫(1.5*x^(2),x,0.5,1)

  3. ∫(1.5*x^(2),x,−0.5,0.5)
  6. ：

    solve(∫(1.5*x^(2),x,a,1)=0.05,a)

4.2.1

  • 已知，累積分配函數 。為連續型隨機變數。

4.3.5

  • 已知，機率密度函數 from 1200 to 1210 millimeters。為連續型隨機變數。
    1. 求平均值 (mean)：

      ∫(x*0.1,x,1200,1210)
    2. 求變異數 (variance)：

      ∫((x-1205)^(2)*0.1,x,1200,1210)
    3. 求標準差 (standard deviation)：
  2. 求 proportion of cables is within specifications：

    ∫(0,x,1195,1200)+∫(0.1,x,1200,1205)

4.5.1


  1. normCdf(−∞,1.32,0,1)

  2. normCdf(−∞,3,0,1)

  3. normCdf(1.45,∞,0,1)

  4. normCdf(−2.15,∞,0,1)

  5. normCdf(−2.34,1.76,0,1)

4.5.2

  • 已知，為標準常態分布題型。從表格中查找 z 值。
  • 當 時，。（面積 為符合對稱性，所以左右兩邊的面積相等）
  1. ：
    ，
    solve(normCdf(−x,x,0,1)=0.95,x)|x>0
  2. ：
    ，
    solve(normCdf(−x,x,0,1)=0.99,x)|x>0
  3. ：
    ，
    solve(normCdf(−x,x,0,1)=0.68,x)|x>0
  4. ：
    ，
    solve(normCdf(−x,x,0,1)=0.9973,x)|x>0

4.5.7

  • 已知，為常態分布題型。其中，、。
  1. 求 more than 0.5 seconds 的機率：

    1-normCdf(−∞,0.5,0.4,0.05)
  2. 求 between 0.4 and 0.5 seconds 的機率：

    normCdf(0.4,0.5,0.4,0.05)
  3. 求 P(X > x) = 0.9 的 reaction time：

    solve(normCdf(−x,x,0.4,0.05)=0.1,x)|x>0

4.5.8

  • 已知，為常態分布題型。其中，、。
  1. 求標準差 (standard deviation)：

    solve(normCdf(−∞,200,159.2,x)=0.841,x)|x>0
  2. 求四分位數 (quartiles)：
    1. Q25：

      solve(normCdf(−∞,x,159.2,40.858170121643)=0.25,x)|x>0
    2. Q75：

      solve(normCdf(−∞,x,159.2,40.858170121643)=0.75,x)|x>0
  3. 求 P(X < x) = 0.9：

    solve(normCdf(−∞,x,159.2,40.858170121643)=0.9,x)|x>0
  4. 求 moderate risk 的機率 (more than 1 but less than 2 standard deviations = )：

    normCdf(159.2+40.8582,159.2+2*40.8582,159.2,40.8582)

  5. normCdf(159.2+2*40.8582,∞,159.2,40.8582)
  6. 求 less than 1 standard deviation below the mean 的機率：

    normCdf(−∞,159.2-40.8582,159.2,40.8582)

4.5.14

  • 已知，為常態分布題型。其中，、。
  1. 求 exceeds 0.0026 的機率：

    1-normCdf(−∞,0.0026,0.002,0.0004)
  2. 求 between 0.0014 and 0.0026 的機率：

    normCdf(0.0014,0.0026,0.002,0.0004)
  3. 求 standard deviation of P(0.0014 < X < 0.0026) = 0.995：

    solve(normCdf(0.0014,0.0026,0.002,x)=0.995,x)|x>0

4.5.20

  • 已知：
    • 為常態分布題型。
    • PH subjects: 、
    • control subjects: 、
  1. 求 PH subjects 的 P(X > x) = 0.05：

    solve(normCdf(−∞,x,36,12)=0.95,x)|x>0
  2. 求 control subjects 的 P(X > 55.7382)：

    normCdf(−∞,55.7382,56,8)
  3. EF 低較可能是 PH subjects。

4.6.1

  • 已知，為二項式分布題型。其中，、。
  1. 精確解：

    1. binomCdf(200,0.4,0,70)

    2. binomCdf(200,0.4,70,90)
    3. binomPdf(200,0.4,80)
  2. 近似解：、。

    normCdf(−∞,((70.5-200*0.4)/(√(200*0.4*0.6))),0,1)

4.6.3

  • 算法 1. 二項式分配題型。其中，、。
    1. 求 more than 200 的機率：

      1-binomCdf(1000,0.193,0,200)
    2. 求 between 180 and 300 的機率：

      binomCdf(1000,0.193,180,300)=∑((nCr(1000,i)*(0.193)^(i)*(1-0.193)^(1000-i)),i,180,300)
  • 算法 2. 常態分佈近似解：試驗次數 、成功機率 ，故 、。
    1. 求 more than 200 的機率：

      1-normCdf(−∞,200+0.5,193,12.48)
    2. 求 between 180 and 300 的機率：

      normCdf(180-0.5,300+0.5,193,12.48)

4.6.5★

  • 已知，為泊松分布題型。其中，。、
  1. 求 more than 20,000 的機率：

    1-poissCdf(10000,0,20000)
  2. 求 less than 9900 的機率：

    poissCdf(10000,0,9899)
  3. 求 P(X > x) = 0.01 的 x 值：

    solve(1-poissCdf(10000,0,x)=0.01,x)|x>0
  4. 求 365 天中 exceed 10,200 的天數（exceed 10,200 的機率 * 365）：

    (1-poissCdf(10000,0,10200))*365
  5. 求 365 天中 exceed 10,200 天數 > 15 天的機率：

    1-binomCdf(365,1-poissCdf(10000,0,10200),0,15)

4.6.6

  • 已知，為二項式分布題型。其中，、。
  1. 第一題
    1. 求平均值 (mean)：
    2. 求變異數 (variance)：
    3. 求標準差 (standard deviation)：
  2. 求 less than 350 的機率：
    1. 估計解：
    2. 精確解：

      binomCdf(362000,0.001,0,349)
  3. 求 P(X > x) = 0.05 的 x 值：
    1. 估計解：

      solve(normCdf(−∞,x,362,19.016782062168)=0.95,x)|x>0
    2. 精確解：

      invBinom(0.05,362000,0.001)
  4. 求 more than 400 @ 2 months 的機率：

    (1-binomCdf(362000,0.001,0,400))^2

C6

6.1.9

  1. Exercise group：
    1. 求樣本平均值 (sample mean)：
    2. 求樣本變異數 (sample variance)：
    3. 求樣本標準差 (sample standard deviation)：
  2. No-exercise group：
    1. 求樣本平均值 (sample mean)：
    2. 求樣本變異數 (sample variance)：
    3. 求樣本標準差 (sample standard deviation)：

6.4.4

  1. 第一題
    1. 求樣本平均值 (sample mean)：
    2. 求樣本變異數 (sample variance)：
    3. 求樣本標準差 (sample standard deviation)：

6.5.8

  1. 第一題
    1. 求樣本平均值 (sample mean)：
    2. 求樣本變異數 (sample variance)：

      varSamp({45,38,47,41,35,43})=((sum(({45,38,47,41,35,43}-41.5)^(2)))/(6-1))
    3. 求樣本標準差 (sample standard deviation)：
  2. 第二題
    1. 求樣本平均值 (sample mean)：
    2. 求樣本變異數 (sample variance)：

      varSamp({10,3,12,6,0,8})=((sum(({10,3,12,6,0,8}-6.5)^(2)))/(6-1))
    3. 求樣本標準差 (sample standard deviation)：
  3. 第三題
    1. 求樣本平均值 (sample mean)：
    2. 求樣本變異數 (sample variance)：

      varSamp({450,380,470,410,350,430})=((sum(({450,380,470,410,350,430}-415)^(2)))/(6-1))
    3. 求樣本標準差 (sample standard deviation)：

C7

7.2.3

  • 已知，為常態分布題型。其中，、、。
  1. 由於樣本數 n = 6，故修正標準差為
  2. 求 P(X > 75.75)：

    1-normCdf(−∞,75.75,75.5,((3.5)/(√(6))))

7.2.5

  • 已知，為常態分布隨機變數題型。其中，、，求樣本數 n。
  1. 由於樣本數 n，故修正標準差為
  2. 代入得：

7.2.6

  • 已知，為常態分布隨機變數題型。其中，、、。
  • 由於樣本數 n = 49，故修正標準差為
  1. 求 less than 10 的機率：

    normCdf(−∞,10,8.2,((1.5)/(√(49))))
  2. 求 between 5 and 10 的機率：

    normCdf(5,10,8.2,((1.5)/(√(49))))
  3. 求 less than 6 的機率：

    normCdf(−∞,6,8.2,((1.5)/(√(49))))

7.3.7

  • 已知，為常態分布隨機變數題型。其中，。
  1. 求 point estimate of the mean，指樣本平均值：
  2. 求 point estimate of the standard deviation，指樣本標準差：
  3. 求 standard error of the point estimate，指修正後樣本標準差：
  4. 求 point estimate of the median，指樣本中位數：
  5. 求 more than 430 的機率：

7.3.8

  • 已知，為二項式分布隨機變數題型。其中， 為樣本數、 為成功機率。

  1. 為無偏估計量 (unbiased estimator)。

C8

題型分析-分佈

  • Z 分佈：
    • 適用題型：母體標準差（σ）已知。
  • t 分佈：
    • 適用題型：母體標準差（σ）未知。
  • χ² 分佈：
    • 適用題型：母體標準差（σ）未知，求標準差的信賴區間。

8.1.3

  1. 求樣本平均值 ：
    1. 已知 Confidence interval 為 [38.02, 61.98], [39.95, 60.05]
    2. 故樣本平均值為：
  2. 95%=[38.02, 61.98]; 90%=[39.95, 60.05]

8.1.4

  1. 母體標準差已知，用 z 分佈。
  2. 已知 σ = 20 (使用 z 分佈); α = 0.05; L = 40; |x̄-μ| = L/2 = 20
    1. 故
      invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    2. 求
    3. 代入得：
  3. 已知 σ = 20 (使用 z 分佈); α = 0.01; L = 40; |x̄-μ| = L/2 = 20
    1. 故
      invNorm(1-0.01/2, 0, 1)
    2. 求
    3. 代入得：

8.1.7

  1. 母體標準差已知，用 z 分佈。
  2. 求 CI：
    1. 已知 σ = 0.001; n = 15; x̄ = 74.036; α = 0.01
    2. 故
      invNorm(1-0.01/2, 0, 1)
    3. 代入得：
  3. 求 lower-confidence bound：
    1. 已知 σ = 0.001; n = 15; x̄ = 74.036; α = 0.01
    2. 故
      invNorm(1-0.01, 0, 1)
    3. 代入得：
    4. 討論：Lower-confidence bound 的下限（單尾）比 CI 的下限（雙尾）大。

8.1.9

  1. 母體標準差已知，用 z 分佈。
  2. 求樣本數 n：
    1. 已知 ; x̄ = 3250; n = 12; E = 15; α = 0.01

    2. invNorm(1-0.01/2, 0, 1)
    3. 代入得：
    4. 故

8.1.12

  1. 母體標準差已知，用 z 分佈。
  2. 求 95% CI：
    1. 已知 σ = 0.66; n = 5; α = 0.05
    2. 故
      invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    3. x̄ = mean({2.69, 5.76, 2.67, 1.62, 4.12}) = 3.372
    4. 代入得：
  3. 求樣本數 n：
    1. 已知 σ = 0.66; L = 0.55; α = 0.05; E = L/2 = 0.275

    2. invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    3. 代入得：
    4. 故

8.2.3

  1. 母體標準差未知，用 t 分佈。
  2. 求 95% CI：
    1. 已知 α = 0.05; x̄ = 60,139.7; n = 16; α = 0.05; df = n-1 = 15

    2. invt(1-0.05/2, 15)
    3. 代入得：

8.2.5

  1. 母體標準差未知，用 t 分佈。
  2. 求 99% One-sided upper CI：
    1. 已知 x̄ = 118.3; s = 9.9; n = 14; α = 0.01; df = n-1 = 13

    2. invt(1-0.01, 13)
    3. 代入得：

8.2.12

  1. 求 95% Two-sided CI
    1. 母體標準差未知，用 t 分佈。
    2. 求 95% Two-sided CI：
      1. 已知 n = 12; α = 0.05; df = n-1 = 11

      2. invt(1-0.05/2, 11)
      3. x̄ = mean({2.31, 2.09, 2.36, 1.95, 1.98, 2.25, 2.16, 2.07, 1.88, 1.94, 1.97, 2.02}) = 2.0817
      4. s = stDevSamp({2.31, 2.09, 2.36, 1.95, 1.98, 2.25, 2.16, 2.07, 1.88, 1.94, 1.97, 2.02}) = 0.1564
      5. 代入得：
  2. 確認是否有證據顯示該診所的平均 CAT 掃描數量高於整體系統平均值。
    1. 已知 1.95 < 1.9823，顯示該診所的平均 CAT 掃描數量高於整體系統平均值。
    2. 進一步以 One-sided CI 進行試驗：
      1. 已知 n = 12; α = 0.05; df = n-1 = 11

      2. invt(1-0.05, 11)
      3. 代入得：
      4. 1.95 < 2.0006，顯示該診所的平均 CAT 掃描數量高於整體系統平均值。

8.3.1

  1. 母體標準差未知，用卡方分布。
  2. 求 95% CI：
    1. 已知 s = 0.37; n = 51; α = 0.05; df = n-1 = 50

    2. invχ²(1-0.05/2, 50)

    3. invχ²(0.05/2, 50)
    4. 代入得：

8.3.7

  1. 母體標準差未知，用卡方分布。
  2. 求 95% Two-Sided CI：
    1. 已知 n = 39; α = 0.05; df = n-1 = 38
    2. s = stDevSamp({5.47, 5.37, 5.38, 4.63, 5.37, 3.74, 3.71, 4.96, 4.64, 5.11, 5.65, 5.39, 4.16, 5.62, 4.57, 4.64, 5.48, 4.57, 4.57, 4.51, 4.86, 4.56, 4.61, 4.32, 3.98, 5.70, 4.15, 3.98, 5.65, 3.10, 5.04, 4.62, 4.51, 4.34, 4.16, 4.64, 5.12, 3.71, 4.64}) = 0.6294

    3. invχ²(1-0.05/2, 38)

    4. invχ²(0.05/2, 38)
    5. 代入得：

8.4.1

  1. 求 95% CI：
    1. 已知 n = 768; x = 412; α = 0.05

    3. invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    4. 代入得：
  2. 求 95% Lower Confidence Bound：
    1. 已知 n = 768; x = 412; α = 0.05

    3. invNorm(1-0.05, 0, 1)
    4. 代入得：

8.4.3

  1. 求 95% Two-Sided CI：
    1. 已知 n = 30; x = 12; α = 0.05

    3. invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    4. 代入得：
  2. 求樣本數 n：
    1. 已知 ; E = 0.02; α = 0.05

    2. invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    3. 代入得：
    4. 故

8.4.5

  1. 求 95% CI：
    1. 已知 n = 500; x = 466; α = 0.05

    3. invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    4. 代入得：
  2. 求樣本數 n：
    1. 已知 ; E = 0.01; α = 0.05

    2. invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    3. 代入得：
    4. 故
  3. 若假設機器僅正確讀取一半的數字，即 ，則：
    1. 已知 ; E = 0.01; α = 0.05

    2. invNorm(1-0.05/2, 0, 1)
    3. 代入得：
    4. 故

C9 (本章題號遺失)

錯誤類型

決策 為真 (True) 為假 (False)
無法拒絕 (Fail to Reject)/接受 (Accept)
(True)		正確 (Correct)
(1-)		Type II error ()
拒絕 (Reject)
(False)		Type I error ()正確 (Correct)
(1- = Power)

計算

    • 當:
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    • 則:
      • Type I error () =
      • Type II error () =
    • 當:
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    • 則:
      • Type I error () =
      • Type II error () =

(9-3 p320)

  1. 求定義虛無假設（Null Hypothesis, ）和對立假設（Alternative Hypothesis, ）：
    • (標準差未減少)
    • (標準差已減少)
  2. 當無法拒絕虛無假設時，是否能強烈證明標準差未減少？
    • 無法，只能說明沒有足夠的證據來拒絕虛無假設（，標準差未減少），但無法強烈證明標準差一定未減少。

(9-5~9.9 p320)

  1. 求 Type I error probability ()：
    1. Type I error 是指當虛無假設 為真時，錯誤地拒絕 的機率。
    2. 已知：
      • (使用 z 分佈)
      • n = 4
    3. 代入得：


      normCdf(−∞,−2,0,1)
  2. 求 Type II error probability ()：
    1. Type II error 是指當虛無假設 為假時，錯誤地接受 的機率。
    2. 已知 true mean
    3. 代入得：


      1 - normCdf(−∞,1,0,1)
  3. 求 Type II error probability () when the true mean is 11.5 kilograms：
    1. 已知 true mean
    2. 代入得：


      1 - normCdf(−∞,0,0,1)
  4. 使用 n = 16 和相同的臨界區域：
    1. 求 Type I error probability ()：

      normCdf(−∞,−4,0,1)
    2. 求 Type II error probability () when the true mean is 11.25 kilograms：

      1 - normCdf(−∞,2,0,1)
    3. 求 Type II error probability () when the true mean is 11.5 kilograms：

      1 - normCdf(−∞,0,0,1)
  5. 求臨界區域的邊界，當 Type I error probability () 為 0.01 和 n = 4 時：
    1. 已知 ; n = 4; σ = 0.5
    2. 帶入得：


      invNorm(0.01, 0, 1)
    3. 故得：

      solve(normCdf(−∞,4.*(x-12),0,1)=0.01,x)
  6. 求臨界區域的邊界，當 Type I error probability () 為 0.05 和 n = 4 時：
    1. 已知 ; n = 4; σ = 0.5
    2. 故目標為求
    3. 得：

      solve(normCdf(−∞,4.*(x-12),0,1)=0.05,x)
      12+invNorm(0.05,0,1)*((0.5)/(√(4)))
  7. 求臨界區域的邊界，當 Type I error probability () 為 0.01 和 n = 16 時：
    1. 已知 ; n = 16; σ = 0.5
    2. 故目標為求
    3. 得：

      solve(normCdf(−∞,8.*(x-12),0,1)=0.01,x)
  8. 求臨界區域的邊界，當 Type I error probability () 為 0.05 和 n = 16 時：
    1. 已知 ; n = 16; σ = 0.5
    2. 故目標為求
    3. 得：

      solve(normCdf(−∞,8.*(x-12),0,1)=0.05,x)
  9. 求 Type II error probability ()，當 true mean elongation 為 11.5 公斤，且 和 n = 4 時：
    1. 已知 ; ; n = 4
    2. 已知 (子題 6 的結果)
    3. 帶入得：

      1-normCdf(−∞,((11.5888-11.5)/(((0.5)/(√(4))))),0,1)
  10. 求 Type II error probability ()，當 true mean elongation 為 11.5 公斤，且 和 n = 16 時：
    1. 已知 ; ; n = 16
    2. 已知 (子題 8 的結果)
    3. 帶入得：

      1-normCdf(−∞,((11.7944-11.5)/(((0.5)/(√(16))))),0,1)
  11. 求 P-value，當觀察到的統計量為 x̄ = 11.25 時：

    normCdf(−∞,((11.25-12)/(((0.5)/(√(4))))),0,1) normCdf(−∞,−3,0,1)
  12. 求 P-value，當觀察到的統計量為 x̄ = 11.0 時：

    normCdf(−∞,((11.0-12)/(((0.5)/(√(4))))),0,1) normCdf(−∞,−4,0,1)
  13. 求 P-value，當觀察到的統計量為 x̄ = 11.75 時：

    normCdf(−∞,((11.75-12)/(((0.5)/(√(4))))),0,1)
    normCdf(−∞,−1,0,1)

(9-26 p321)

  • 近似解：
    • 已知：n = 10; p = 0.3
  1. Type I error probability (α)：
    1. 已知
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    2. 代入得：


      normCdf(−∞,((0.1-0.3)/(√(((0.3*0.7)/(10))))),0,1)
      normCdf(−∞,−1.3801,0,1)
  2. Type II error probability (β)：
    1. 已知
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    2. 代入得：


      1-normCdf(−∞,((0.1-0.2)/(√(((0.2*0.8)/(10))))),0,1)
      1-normCdf(−∞,−0.7906,0,1)
  3. Power = 1 - Type II error probability (β)：
    1. 已知 (子題 2 的結果)
    2. 代入得：

      1-0.7854

(9-27 p321)

解法 1

  • 近似解：
    • 已知：n = 500; p = 0.6
  1. 求 Type I error probability ()：
    1. 已知
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    2. 代入得：


      1-normCdf(−∞,9.1287,0,1)
  2. 求 Type II error probability ()：
    1. 已知
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    2. 代入得：


      normCdf(−∞,((0.8-0.75)/(√(((0.75*(1-0.75))/(500))))),0,1)

解法 2

  • 近似解：;
    • 已知：n = 500; p = 0.6
  1. 求 Type I error probability ()：
    1. 已知
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    2. 代入得：


      1-normCdf(−∞,9.1744,0,1)
  2. 求 Type II error probability ()：
    1. 已知
      • (虛無假設)
      • (對立假設)
    2. 代入得：


      normCdf(−∞,((400.5-375)/(√(500*0.75*(1-0.75)))),0,1)

(9-32 p329)

  • 已知：
  • 求臨界值 ，表 ，即 。
  1. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(0.005, 0, 1)
    invNorm(1-0.005, 0, 1)
  2. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(0.025, 0, 1)
    invNorm(1-0.025, 0, 1)
  3. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(0.05, 0, 1)
    invNorm(1-0.05, 0, 1)

(9-33 p329)

  • 已知：
  • 求臨界值 ，表 ，即 。
  1. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(1-0.01, 0, 1)
  2. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(1-0.05, 0, 1)
  3. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(1-0.10, 0, 1)

(9-34 p329)

  • 已知：
  • 求臨界值 ，表 ，即 。
  1. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(0.01, 0, 1)
  2. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(0.05, 0, 1)
  3. 求臨界值 ，當 時：

    invNorm(0.10, 0, 1)

(9-37 p329)

  • 已知：
  • 求 P-value，表 。
  1. 求 P-value，當 時：

    normCdf(−∞,2.05,0,1)
  2. 求 P-value，當 時：

    normCdf(−∞,−1.84,0,1)
  3. 求 P-value，當 時：

    normCdf(−∞,0.4,0,1)

(9-38 p330)

  • 已知：
    • (虛無假設)
    • (對立假設)
    • 樣本數: n = 25
    • 標準差: σ = 1.8

  1. 填寫缺失項目。

    • SE Mean (SE()) =
    • P =
      2*(1-normCdf(−∞,((35.710-35)/(((1.8)/(√(25))))),0,1))
      2*(1-normCdf(−∞,1.9722,0,1))
    VariableNMean (x̄)StDev ()SE Mean (SE())ZP
    x2535.7101.4750.2951.97220.0486
    • 結論：P-value = 0.0486 < 0.05，拒絕虛無假設 ()，即有足夠證據證明平均值不等於 35。

  2. Two-sided test ()。

  3. 求 95% Two-Sided CI：

    1. 已知 ; n = 25; σ = 1.8; x̄ = 35.710
    2. 帶入得：

  4. 求 P-value，當 時：

    1-normCdf(−∞,((35.710-35)/(((1.8)/(√(25))))),0,1)
    1-normCdf(−∞,1.9722,0,1)

(9-39 p330)

  • 已知：
    • (虛無假設)
    • (對立假設)
    • 樣本數: n = 10
    • 標準差: σ = 0.75

  1. 填寫缺失項目。

    • StDev () =

    • 1-normCdf(−∞,((19.889-20)/(((0.75)/(√(10))))),0,1)
      1-normCdf(−∞,−0.4680,0,1)
    VariableNMean (x̄)StDev ()SE Mean (SE())ZP
    x1019.8890.74950.237−0.46800.6801
    • 結論：P-value = 0.6801 > 0.05，無法拒絕虛無假設 ()，即無法證明平均值大於 20。

  2. One-sided test ()。

  3. 求 95% Two-Sided CI：

    1. 已知 ; n = 10; σ = 0.75; x̄ = 19.889
    2. 帶入得：

  4. 求 P-value，當 時：

    2*normCdf(−∞,((19.889-20)/(((0.75)/(√(10))))),0,1)

(9-40 p330)

  • 已知：
    • (虛無假設)
    • (對立假設)
    • 樣本數: n = 16
    • 標準差: σ = 1.1

  1. 填寫缺失項目：

    • SE Mean (SE()) =

    • 1-normCdf(−∞,((15.016-14.5)/(((1.1)/(√(16))))),0,1)
      1-normCdf(−∞,1.8764,0,1)
    VariableNMean (x̄)StDev ()SE Mean (SE())ZP
    x1615.0161.0150.25381.87640.0303
    • 結論：P-value = 0.0303 < 0.05，拒絕虛無假設 ()，即平均值大於 14.5。

  2. One-sided test ()。

  3. 求 95% Lower Bound CI：

    1. 已知 ; n = 16; σ = 1.1; x̄ = 15.016
    2. 帶入得：

      15.016 - invNorm(1-0.05, 0, 1) * (1.1/sqrt(16))

  4. 求 P-value，當 時：

    2*(1-normCdf(−∞,((15.016-14.5)/(((1.1)/(√(16))))),0,1))
    2*(1-normCdf(−∞,1.8764,0,1))

(9-43 p330)

  • 已知：
    • (虛無假設)
    • (對立假設)
    • 樣本數: n = 15
    • 標準差: σ = 0.9
  1. 求 P-value：
    1. 帶入得：

      2*normCdf(−∞,((2.78-3)/(((0.9)/(√(15))))),0,1)
      2*normCdf(−∞,−1.7321,0,1)
    2. 結論：P-value = 0.3438 > 0.05，無法拒絕虛無假設 ()，即無法證明平均值不等於 3。
  2. 求檢力 (Power)：
    1. 求 ：
    2. 帶入得 ：
    3. 結論：
  3. 求樣本數 (n)：
    1. 已知 ; (檢力 >= 0.9, 即 ); ; ;
    2. 帶入得：

      ((invNorm(1-0.05/2, 0, 1) + invNorm(1-0.1, 0, 1))^2 * (0.9^2))/((3.75-3)^2)
    3. 結論：
      ，即至少需要 16 個樣本來檢測平均值為 3.75。

(9-53 p338)

  • 已知：;
  1. 求臨界值 ，當 ; n = 20 時：

    invT(1-0.01, 19)
  2. 求臨界值 ，當 ; n = 12 時：

    invT(1-0.05, 11)
  3. 求臨界值 ，當 ; n = 15 時：

    invT(1-0.10, 14)

(9-58 p338)

  • 已知：
    • (虛無假設)
    • (對立假設)
    • 樣本數: n = 20

  1. 填寫缺失項目。

    • SE Mean (SE()) =
    • 95% Lower Bound =
      92.379 - invT(1-0.05, 19) * (0.717/sqrt(20))
    • P-value =
      1-tCdf(−∞,8.6012,19)
    VariableNMean (x̄)StDev ()SE Mean (SE())95% Lower BoundTP
    x2092.3790.7170.160392.10188.60122.8101e-08
    • 結論：P-value = 2.8101e-08 < 0.05，拒絕虛無假設 ()，即有足夠證據證明平均值大於 91。

  2. One-sided test ()。

  3. 求 P-value，當 時：

    1. 帶入得：

      1-tCdf(−∞,((92.379-90)/(((0.717)/(√(20))))),19)
    2. 結論：P-value = 3.33e-12 < 0.05，拒絕虛無假設 ()，不會改變結論，即有足夠證據證明平均值大於 90。

(9-64 p339)

  • 已知：
    • 樣本數: n = 20
    • x̄ = 26.035
    • 標準差: s = 4.784764747008
    • 標準差未知，使用 t 分佈進行假設檢定。
  1. 求 P-value：
    1. 已知：
      • H₀: μ = 25 (虛無假設)
      • H₁: μ > 25 (對立假設)
      • n = 20
    2. 帶入得：

      1-tCdf(−∞,((26.035-25)/(((4.784764747008)/(√(20))))),19)
      1-tCdf(−∞,0.5773,19)
  2. 略
  3. 求檢力 (Power)：
    1. 求 ：
    2. 帶入得 ：

(9-65 p339)

  • 已知：
    • 樣本數: n = 20
    • x̄ = 129.747
    • s = 0.8764
    • 標準差未知，使用 t 分佈進行假設檢定。
  1. 求 P-value：
    1. 已知：
      • H₀: μ = 130 (虛無假設)
      • H₁: μ ≠ 130 (對立假設)
      • n = 20
    2. 帶入得：

      2*tCdf(−∞,((129.747-130)/(((0.8764)/(√(20))))),19)
  2. 略
  3. 求檢力 (Power):
    1. 求 ：

      1. 130-invt(1-((0.05)/(2)),20-1)*((0.8764)/(√(20)))

      2. 130+invt(1-((0.05)/(2)),20-1)*((0.8764)/(√(20)))
    2. 帶入得 ：
    3. 結論：
  4. 求樣本數 (n)：圖解
    1. 求
    2. 由於 ，查表 Chart VII，d = 0.1141 (橫軸); (縱軸)，交點 。

(9-80 p343)

  • 檢定統計量：
  • 雙尾檢定 P-value：
  1. 已知 and n = 20
    1. 自由度 df = n - 1 = 20 - 1 = 19
  2. 已知 and n = 12
    1. 自由度 df = n - 1 = 12 - 1 = 11
  3. 已知 and n = 15
    1. 自由度 df = n - 1 = 15 - 1 = 14

(9-88 p344)

  • 已知：
    • 樣本數: n = 15
    • 標準差: s = 0.008
    • 標準差未知，使用 分佈進行假設檢定。
  1. 檢定標準差是否超過 0.01 毫米。
    1. 已知：
      • H₀: σ² = 0.01 (虛無假設)
      • H₁: σ² > 0.01 (對立假設)
      • n = 15
      • s = 0.008
      • df = n - 1 = 14
    2. 檢定統計量：
    3. P-value：

      1-χ²Cdf(−∞,8.96,14)
  2. 求當實際標準差超過假設值 50% (σ = 0.01 * 1.5 = 0.015) 時，檢定的能力 (檢力, Power)。
    1. 求檢力 (Power)：
    2. 帶入得：

      1-χ²Cdf(−∞,3.9822,14)

C10

10.1.1

  • 已知：
    • 已知標準差，使用 Z 分佈。
  1. 求 P-Value：
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 0
    2. H₁: μ₁ - μ₂ ≠ 0

    3. ((4.7-7.8)/(√(((10^(2))/(10))+((5^(2))/(15)))))
    4. P-Value = 2 * P(z < −0.9076) = 　
      2*normCdf(−∞,−0.9076,0,1)
    5. P-Value > α，故無法拒絕 H₀，沒有足夠證據證明兩者有差異。
    6. (補充，使用區間判斷)

      1. [invNorm(((0.05)/(2)),0,1),−invNorm(((0.05)/(2)),0,1)]
      2. -0.9076 介於區間內，故無法拒絕 H₀，沒有足夠證據證明兩者有差異。
  2. 求 Confidence Interval:
    2. 故得：CI = [−9.794551484, 3.594551484]
    3. 而由於 CI 中存在 0，則無法拒絕 H₀，沒有足夠證據證明兩者有差異。
  3. 求 Power (= 1 - β)：
    2. 已知：
    3. 得：
      normCdf(−z(0.025)-((3)/(√(((10^(2))/(10))+((5^(2))/(15))))),z(0.025)-((3)/(√(((10^(2))/(10))+((5^(2))/(15))))),0,1)
      p(z(0.025)-((3)/(√(((10^(2))/(10))+((5^(2))/(15))))))-p(−z(0.025)-((3)/(√(((10^(2))/(10))+((5^(2))/(15))))))
      p(z(0.025)-((3*√(105))/(35)))-p(−z(0.025)-((3*√(105))/(35)))
    4. 故：　
  4. 求當 β = 0.05 時需要的 n：
    2. 已知：;
    3. 得：　

10.1.4

  • 已知：
    • 已知標準差，使用 Z 分佈。
  1. 求 P-Value (α = 0.10)：
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 10
    2. H₁: μ₁ - μ₂ < 10
    4. 　
      normCdf(−∞,−1.9044,0,1)
    5. P-Value < α，拒絕 H₀。製程改變後的平均黏度與製程改變前的平均黏度增加不超過 10。
  2. 求 Confidence Interval:
    2. 故得：CI = [−21.07725670, 7.727256703]
    3. 而由於 CI 中存在 0，則無法拒絕 H₀。即無法證明製程改變對黏度有影響。
  3. 說明二者結論：可得結論，經過製程改變後，黏度平均值增加不超過 10。亦可由信賴區間得知，90% 信賴區間為 [−21.07725670, 7.727256703]，即黏度平均值增加不超過 10（最高為 7.73）。

10.2.2

  • 已知：
    • 未知標準差，使用 t 分佈。
      • 二者標準差相等。
  1. 求 P-Value (α = 0.05)
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 0
    2. H₁: μ₁ - μ₂ ≠ 0
    4. 　
      2*tCdf(−∞,−3.7501,28)
    5. P-Value < α，拒絕 H₀。均值不相等。
  2. 求 Confidence Interval:
    2. 得：CI = [−4.7932948158777, −1.4067051841223]
    3. 由於 CI 中不包含 0，故拒絕 H₀。均值不相等。
  3. 求 Power (= 1 - β)：

    1. (3-0)/(2*2.2638)
    2. 查圖 VII：
      1. α = 0.05(e); d = 0.6626 (橫軸); n* = 2n - 1 = 29 (曲線)
      2. 縱軸 (Probability of accepting H₀) 交點約為 0.1。
    3. 因 β ≈ 0.1，則 　
  4. 求當 β = 0.05 時需要的 n：
    1. (差異不為負，故取絕對值)

    2. (2-0)/(2*2.2638)
    3. 查圖 VII：
      1. α = 0.05(e); d = 0.4417 (橫軸); β = 0.05 (縱軸)
      2. 曲線約為 n* = 75。
      3. 　

10.2.3

  • 已知：
    • 標準差未知，使用 t 分佈。
    • σ₁² = σ₂² 二者標準差相等。

    • √(((14*0.35+16*0.4)/(15+17-2)))
  1. 測試二產品是否有差異（雙尾）
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 0
    2. H₁: μ₁ - μ₂ ≠ 0
    4. 　
      2*tCdf(0.2300,∞,30)
    5. P-Value > α，無法拒絕 H₀。無法證明二產品有差異。
  2. 求 Confidence Interval：
    2. 得 CI = [-0.39401451336798, 0.49401451336798]
      (8.73-8.68)-invt(1-((0.05)/(2)),30)*0.6137*sqrt((1/15)+(1/17))
      (8.73-8.68)+invt(1-((0.05)/(2)),30)*0.6137*sqrt((1/15)+(1/17))
    3. 由於 CI 中包含 0，故無法拒絕 H₀。無法證明二產品有差異。

10.2.6

  • 已知：
    • 標準差未知，使用 t 檢定。
    • σ₁² ≠ σ₂² 二者標準差不相等。
  1. 求 P-Value (α = 0.05)
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 0
    2. H₁: μ₁ - μ₂ < 0

    4. ((290-321)/(√(((12^(2))/(10))+((22^(2))/(16)))))

    5. (((12^(2))/(10)+((22^(2))/(16)))^(2))/((((12^(2))/(10))^(2))/(10-1)+(((22^(2))/(16))^(2))/(16-1))
    6. 　
      tCdf(−∞,−4.6393,23.7211)
    7. P-Value < α，拒絕 H₀。均值不相等。
    8. 解法補充：
      2. ，故拒絕 H₀。均值不相等。
  2. 求 P-Value (α = 0.05; )
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 25
    2. H₁: μ₁ - μ₂ > 25
    3. σ₁² ≠ σ₂² 二者標準差不相等。

    4. ((290-321-25)/(√(((12^(2))/(10))+((22^(2))/(16)))))

    5. (((12^(2))/(10)+((22^(2))/(16)))^(2))/((((12^(2))/(10))^(2))/(10-1)+(((22^(2))/(16))^(2))/(16-1))
    7. ，故無法拒絕 H₀。無法證明產品二者均值差異大於 25。
  3. 求 Confidence Interval：
    2. 得 CI = [−44.822905672394, −17.177094327606]
      ((290-321)-invt(1-((0.05)/(2)),23)*√(((12^(2))/(10))+((22^(2))/(16))))
      ((290-321)+invt(1-((0.05)/(2)),23)*√(((12^(2))/(10))+((22^(2))/(16))))
    3. 由於 CI 中不包含 0，故拒絕 H₀。在 95% 的信賴水準下，二產品不相等。

10.2.8 (10-26)

  • 已知：
    • 標準差未知，使用 t 檢定。
    • σ₁² = σ₂² 二者標準差相等。

    • √(((8-1)*0.11^(2)+((8-1)*0.09^(2)))/(8+8-2))
  1. 求 P-Value (α = 0.10)：
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 0
    2. H₁: μ₁ - μ₂ > 0

    3. ((1.15-1.06)/(0.1005*√((1/8)+(1/8))))
    4. 　
      1-tCdf(−∞,1.7910,14)
    5. P-Value < α，拒絕 H₀。故 20-mil 薄膜的平均速度大於 25-mil 薄膜的平均速度。
  2. 求 Confidence Interval (α = 0.05)：
    2. 得 　
      ((1.15-1.06)-invt(1-((0.05)/(2)),14)*0.1005*√((1/8)+(1/8)))
      ((1.15-1.06)+invt(1-((0.05)/(2)),14)*0.1005*√((1/8)+(1/8)))

10.4.3 (10-54)

  • 已知：
    • 標準差未知，使用 t 檢定，且數據為配對樣本。
    • D = {14.58,48.52,97.22,113.99,174.73,212.72,277.38}-{14.76,49.1,99.99,117.53,181.22,220.14,294.8} = {−0.18,−0.58,−2.77,−3.54,−6.49,−7.42,−17.42}

    • mean({−0.18,−0.58,−2.77,−3.54,−6.49,−7.42,−17.42})

    • stDevSamp({0.18,0.58,2.77,3.54,6.49,7.42,17.42})
  1. 求 P-Value (α = 0.05)：
    1. H₀: μ₁ - μ₂ = 0
    2. H₁: μ₁ - μ₂ ≠ 0

    4. ((−5.4857-0)/(((5.9239)/(√(7)))))
    5. 　
      2*tCdf(abs(-2.4501),∞,6)
    6. P-Value < α，拒絕 H₀。在 95% 的信賴水準下，二方法均值不相等。
  2. 求 Confidence Interval (α = 0.05)：
    2. 得 　
      −5.4857-invt(1-((0.05)/(2)),6)*((5.9239)/(√(7)))
      −5.4857+invt(1-((0.05)/(2)),6)*((5.9239)/(√(7)))

10.4.7 (10-62)

  • 已知：
    • 標準差未知，使用 t 檢定，又為配對樣本。
    • D = {1.07}
  1. 單尾檢定，因為研究者想知道平均增加的單詞數是否為正。
  2. 求 P-Value (α = 0.05)：
    1. H₀: = 0
    2. H₁: > 0

    4. (1.07-0)/(3.195/√(99))
    5. 　
      tCdf(3.3322,∞,98)
    6. P-Value < α，拒絕 H₀。平均增加的單詞數為正。
    7. 解法補充：

      1. invt(1-0.05,98)
      2. ，故拒絕 H₀。平均增加的單詞數為正。
  3. 參與者在加入研究前後都進行了記憶測試，因此可以視為成對 t 檢定。
  4. 沒有使用藥物情況下，能力仍有顯著提升，這表明在此類測試中包含安慰劑是很重要的，因為它可以幫助確定任何觀察到的效果是否真的是由藥物引起的。

10.5.2 (10-68)

  • 已知：
    • 標準差未知，欲比較兩個樣本的變異數，使用 F 檢定。
  1. 求 P-Value (α = 0.05)：
    1. H₀: σ₁² = σ₂²
    2. H₁: σ₁² ≠ σ₂²

    3. (4.7^(2))/(5.8^(2))
    4. 　
      2*Fcdf(0,0.6567,9,15)
    5. P-Value > α，無法拒絕 H₀。無法證明二者變異數不同。

10.6.2 (10-84)

  • 已知：
    • 二項分佈，使用 Z 檢定。
  1. 求 P-Value (α = 0.05)：
    1. H₀: p₁ - p₂ = 0
    2. H₁: p₁ - p₂ > 0

    3. ((14/18)-(22/30))/(√(((14+22)/(18+30))*((1-((14+22)/(18+30))))*((1/18)+(1/30))))
    4. 　
      1-normCdf(−∞,0.3443,0,1)
    5. P-Value > α，無法拒絕 H₀。無法證明長撕裂的成功率較高。
  2. 求 One-sided Confidence Bound (α = 0.05)：
    2. 得 　
      ((14/18)-(22/30))-invnorm(1-0.05,0,1)*√(((14/18)*(1-(14/18))/(18))+((22/30)*(1-(22/30))/(30)))
    3. 由於 CI 中包含 0 ([−0.1644, ∞))，故無法拒絕 H₀。無法證明長撕裂的成功率較高。

10.6.3 (10-86)

  • 已知：
    • 二項分佈，使用 Z 檢定。
  1. 求 P-Value (α = 0.05)：
    1. H₀: p₁ - p₂ = 0
    2. H₁: p₁ - p₂ ≠ 0

    3. ((15/300)-(8/300))/(√(((23/600)*((1-(23/600)))*((1/300)+(1/300))))
    4. 　
      2*(1-normCdf(−∞,1.4884,0,1))
    5. P-Value > α，無法拒絕 H₀。二者沒有顯著差異。
  2. 求 Confidence Interval (α = 0.05)：
    2. 得 　
      ((15/300)-(8/300))-invnorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√(((15/300)*(1-(15/300))/(300))+((8/300)*(1-(8/300))/(300)))
      ((15/300)-(8/300))+invnorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√(((15/300)*(1-(15/300))/(300))+((8/300)*(1-(8/300))/(300)))
    3. (由於 CI 中包含 0 ([−0.0073, 0.0540])，故無法拒絕 H₀。二者沒有顯著差異。)
  3. 求 Power (p₁ = 0.05, p₂ = 0.01)：

    2. √(((0.05*(1-(0.05)))/(300))+((0.01*(1-(0.01)))/(300)))
    4. 得：

      ((invNorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√(0.03*0.97*(((1)/(300))+((1)/(300))))-(0.05-0.01))/(0.0138))
      ((-invNorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√(0.03*0.97*(((1)/(300))+((1)/(300))))-(0.05-0.01))/(0.0138))

      • normCdf(−∞,−0.9204,0,1)-normCdf(−∞,−4.8767,0,1)
    5. 　
  4. 求 n (p₁ = 0.05, p₂ = 0.01, Power ≥ 0.9)：
    　 (((invNorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√((((0.05+0.01)*(1-0.05+1-0.01))/(2)))+invNorm(0.9,0,1)*√(0.05*(1-0.05)+0.01*(1-0.01)))^(2))/((0.05-0.01)^(2)))
  5. 求 Power (p₁ = 0.05, p₂ = 0.02)：

    2. √(((0.05*(1-(0.05)))/(300))+((0.02*(1-(0.02)))/(300)))
    4. 得：

      ((invNorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√(0.0350*0.9650*(((1)/(300))+((1)/(300))))-(0.05-0.02))/(0.0150))
      ((−invNorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√(0.0350*0.9650*(((1)/(300))+((1)/(300))))-(0.05-0.02))/(0.0150))

      • normCdf(−∞,−0.0393,0,1)-normCdf(−∞,−3.9607,0,1)
      • 　
  6. 求 n (p₁ = 0.05, p₂ = 0.02, Power ≥ 0.9)：
    　
    (((invNorm(1-((0.05)/(2)),0,1)*√((((0.05+0.02)*(1-0.05+1-0.02))/(2)))+invNorm(0.9,0,1)*√(0.05*(1-0.05)+0.02*(1-0.02)))^(2))/((0.05-0.02)^(2)))

C13

13.2.1

  1. 求 Factor 的 Level 數：
    1. 已知總 DF = 19，Error DF = 16，則 Factor DF = 19 - 16 = 3。
    2. 因為 Factor DF = Level - 1，故 Level = 3 + 1 = 4　■ ​。
  2. 求 Replicates 數 (n)：
    1. 已知 Total DF = 19，故 n = Total DF + 1 = 19 + 1 = 20
    2. 因為每個 Level 有相同的 Replicates 數，故每個 Level 的 Replicates 數 = n / Level = 20 / 4 = 5　■ ​。
  3. 填寫 ANOVA 表格：
    SourceDFSSMSFP-value
    Factor3117.439.11.57660.2340
    Error16396.824.8--
    Total19514.2---
    • 　
    • 　
    • 　
    • 　
      Fcdf(1.5766,∞,3,16)
  4. 當 α = 0.05 時，P-value > α，無法拒絕 H₀。各水平均值之間沒有顯著差異。

13.2.4

  1. ANOVA (α = 0.05)：
    1. 建立計算表
      SourceDFSSMSFP-value
      Factor3-1 = 21,952.6439976.321993.57562.5152e-14
      Error35-2 = 33344.305810.4335
      Total12*3-1 = 352,296.9497
      1. 令：
      • {118.8,122.6,115.6,113.6,119.5,115.9,115.8,115.1,116.9,115.4,115.6,107.9,105.4,101.1,102.7,97.1,101.9,98.9,100.,99.8,102.6,100.9,104.5,93.5,102.1,105.8,99.6,102.7,98.8,100.9,102.8,98.7,94.7,97.8,99.7,98.6}→total
      • {118.8,122.6,115.6,113.6,119.5,115.9,115.8,115.1,116.9,115.4,115.6,107.9}→a
      • {105.4,101.1,102.7,97.1,101.9,98.9,100.,99.8,102.6,100.9,104.5,93.5}→b
      • {102.1,105.8,99.6,102.7,98.8,100.9,102.8,98.7,94.7,97.8,99.7,98.6}→c

      1. sum(total)
      2. 36*varPop(total)
        • 補充算法：
          sum(total^(2))-(((sum(total))^(2))/(36))

      3. (((sum(a))^(2)+(sum(b))^(2)+(sum(c))^(2))/(12))-(((sum(total))^(2))/(36))

      8. Fcdf(93.5756,∞,2,33)
    2. 由於 P-value < α，拒絕 H₀。各水平均值之間有顯著差異。
  2. 試驗 DC 的平均抗氧化能力是否有顯著提升：
    1. 計算 CI：
      • 其中
        invt(1-0.025,33)
    2. 得 CI：
      1. DC: [114.1613, 117.9554]
        mean(a)-invt(1-0.025,33)*√(((10.4335)/(12))), mean(a)+invt(1-0.025,33)*√(((10.4335)/(12)))
      2. DC+MK: [98.8029, 102.5971]
        mean(b)-invt(1-0.025,33)*√(((10.4335)/(12))), mean(b)+invt(1-0.025,33)*√(((10.4335)/(12)))
      3. MC: [98.2863, 102.0804]
        mean(c)-invt(1-0.025,33)*√(((10.4335)/(12))), mean(c)+invt(1-0.025,33)*√(((10.4335)/(12)))
    3. DC 的 CI [114.1613, 117.9554] 遠大於 DC+MK、MC 的 CI，故有證據顯示 DC 的平均抗氧化能力有顯著提升。

13.2.6

  1. ANOVA (α = 0.05)：
    1. 建立計算表
      SourceDFSSMSFP-value
      Factor6-1 = 51,133.3750226.675030.85187.7690E-8
      Error23-5 = 18132.25007.3472
      Total6*4-1 = 231,265.6250
      1. 令：
        • {80,83,83,85,75,75,79,79,74,73,76,77,67,72,74,74,62,62,67,69,60,61,64,66}→total
        • {80,83,83,85}→a
        • {75,75,79,79}→b
        • {74,73,76,77}→c
        • {67,72,74,74}→d
        • {62,62,67,69}→e
        • {60,61,64,66}→f

      2. 24*varPop(total)
        sum(total^(2))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      3. ((sum({sum(a),sum(b),sum(c),sum(d),sum(e),sum(f)}^(2)))/(4))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      8. Fcdf(30.8518,∞,4,18)
    2. 由於 P-value < α，拒絕 H₀。各水平均值之間有顯著差異。
  2. 求 diameter = 1.40 的 Confidence Interval (α = 0.05)：

    3. invt(1-((0.05)/(2)),18)

    4. [mean(e)-invt(1-0.025,18)*√(((7.3472)/(4))),mean(e)+invt(1-0.025,18)*√(((7.3472)/(4)))]
      [65.0 - 2.1009*√(((7.3472)/(4))),65.0 + 2.1009*√(((7.3472)/(4)))]
    5. 得 CI = [62.152645610152, 67.847354389848]。

13.2.7

  1. ANOVA:
    1. 建立計算表
      SourceDFSSMSFP-value
      Factor4-1 = 328,633.33339,544.44441.86540.2138
      Error11-3 = 840,933.33335,116.6667
      Total4*3-1 = 1169,566.6667
      1. 令：
        • {1530,1530,1440,1610,1650,1500,1560,1730,1530,1500,1490,1510}→total
        • {1530,1530,1440}→a
        • {1610,1650,1500}→b
        • {1560,1730,1530}→c
        • {1500,1490,1510}→d

      2. 12*varPop(total)
        sum(total^(2))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      3. ((sum({sum(a),sum(b),sum(c),sum(d)}^(2)))/(3))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      8. Fcdf(1.8654,∞,3,8)
    2. 由於 P-value > α，無法拒絕 H₀。各 rodding level 的平均抗壓強度之間沒有顯著差異。
  2. 由上表可知 P-value = 0.2138。

13.3.1

  1. ANOVA (α = 0.05)：
    1. 建立計算表
      SourceDFSSMSFP-value
      Factor4-1 = 316.21985.40668.29000.0077
      Error11-3 = 85.21750.6522
      Total4*3-1 = 1121.4373
      1. 令：
        • {2.76,5.67,4.49,1.43,1.70,2.19,2.34,1.97,1.47,0.94,1.36,1.65}→total
        • {2.76,5.67,4.49}→a
        • {1.43,1.70,2.19}→b
        • {2.34,1.97,1.47}→c
        • {0.94,1.36,1.65}→d

      2. 12*varPop(total)
        sum(total^(2))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      3. ((sum({sum(a),sum(b),sum(c),sum(d)}^(2)))/(3))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      8. Fcdf(8.2900,∞,3,8)
    2. 由於 P-value < α，拒絕 H₀。各 wafer position 的平均薄膜厚度均勻度之間有顯著差異。
  2. 求組間變異 ()：
    　
  3. 求組內變異 ()：

13.2.12

  1. ANOVA (α = 0.05)：
    1. 建立計算表
      SourceDFSSMSFP-value
      Factor3-1 = 21.84800.92406.01580.0086
      Error23-2 = 213.22550.1536
      Total3*8-1 = 235.0736
      1. 令：
        • {0.0121,0.0132,0.0011,0.0023,0.0391,0.0052,0.0003,0.0014,0.0031,0.0006,0.0000,0.0000,0.0220,0.0019,0.0007,0.0000,0.1562,0.2227,0.0953,0.8911,1.3892,0.0152,1.7916,0.1992}→total
        • {0.0121,0.0132,0.0011,0.0023,0.0391,0.0052,0.0003,0.0014}→a
        • {0.0031,0.0006,0.0000,0.0000,0.0220,0.0019,0.0007,0.0000}→b
        • {0.1562,0.2227,0.0953,0.8911,1.3892,0.0152,1.7916,0.1992}→c

      2. 24*varPop(total)
        sum(total^(2))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      3. ((sum({sum(a),sum(b),sum(c)}^(2)))/(8))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      8. Fcdf(6.0158,∞,2,21)
    2. 由於 P-value < α，拒絕 H₀。各 ANN 的 RMSE 之間有顯著差異。
  2. 求 ANN2 Confidence Interval (α = 0.05)：

    3. invt(1-((0.05)/(2)),21)

    4. [mean(b)-invt(1-0.025,21)*√(((0.1536)/(8))),mean(b)+invt(1-0.025,21)*√(((0.1536)/(8)))]
      [0.0034 - 2.0806*√(((0.1536)/(8))), 0.0034 + 2.0806*√(((0.1536)/(8)))]
    5. 得 CI = [−0.28461976148941, 0.29169476148941]。
    6. 由於同質性假設不成立，故 CI 不可靠，重新使用 t 分佈進行計算：

      2. [mean(b)-invt(1-0.025,7)*((stDevSamp(b))/(√(8))),mean(b)+invt(1-0.025,7)*((stDevSamp(b))/(√(8)))]
      3. 得 CI = [−0.00276607830376, 0.00984107830376]。

13.3.3

  1. ANOVA (α = 0.01)：
    1. 建立計算表
      SourceDFSSMSFP-value
      Factor6-1 = 556,357.500011,271.50004.59830.0044
      Error29-5 = 2458,830.000024,51.2500
      Total6*5-1 = 29115,187.5000
      1. 令：
        • {1545,1440,1440,1520,1580,1540,1555,1490,1560,1495,1595,1550,1605,1510,1560,1445,1440,1595,1465,1545,1595,1630,1515,1635,1625,1520,1455,1450,1480,1445}→total
        • {1545,1440,1440,1520,1580}→a
        • {1540,1555,1490,1560,1495}→b
        • {1595,1550,1605,1510,1560}→c
        • {1445,1440,1595,1465,1545}→d
        • {1595,1630,1515,1635,1625}→e
        • {1520,1455,1450,1480,1445}→f

      2. 30*varPop(total)
        sum(total^(2))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      3. ((sum({sum(a),sum(b),sum(c),sum(d),sum(e),sum(f)}^(2)))/(5))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      8. Fcdf(4.5983,∞,5,24)
    2. 由於 P-value < α，拒絕 H₀。各批次的平均產量之間有顯著差異。
  2. 求組間變異 (Between Batches Variability) ()：
    　
  3. 求組內變異 (Within Batches Variability) ()：
    　

13.3.4

  1. ANOVA (α = 0.05)：
    1. 建立計算表
      SourceDFSSMSFP-value
      Factor4-1 = 353.982117.99400.74980.5383
      Error19-3 = 16383.990823.9994
      Total4*5-1 = 19437.9729
      1. 令：
        • {77.199,74.466,92.746,76.208,82.876,80.522,79.306,81.914,80.346,73.385,79.417,78.017,91.596,80.802,80.626,78.001,78.358,77.544,77.364,77.386}→total
        • {77.199,74.466,92.746,76.208,82.876}→a
        • {80.522,79.306,81.914,80.346,73.385}→b
        • {79.417,78.017,91.596,80.802,80.626}→c
        • {78.001,78.358,77.544,77.364,77.386}→d

      2. 20*varPop(total)
        sum(total^(2))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      3. ((sum({sum(a),sum(b),sum(c),sum(d)}^(2)))/(5))-(((sum(total))^(2))/(count(total)))

      8. Fcdf(0.7498,∞,3,16)
    2. 由於 P-value > α，無法拒絕 H₀。各化學劑類型的平均紙漿亮度之間沒有顯著差異。
  2. 求組間變異 (Between Chemical Types Variability) ()：
    　
  3. 求組內變異 (Within Chemical Types Variability) ()：

關係圖譜

Recent Notes