3. 高斯消去法

C9 Gauss Elimination (高斯消去法)

• 用來解聯立方程式的方法
• 小於 3 個方程式時，可以使用用圖形法、Cramer’s rule (克拉默法則)等方法求解。
• 無解、無限多解、斜率非常接近時，可能會有問題。

9.1.2 Determinants and Cramer’s rule

• Cramer’s rule (克拉瑪法則)：
  • 對於一聯立方程式：，其中：
    • (係數矩陣)：
    • (未知數矩陣)：
    • (常數矩陣)：
  • 則，行列式值 為：
  • 此時：
    • 依此類推：。

9.1.3 The Elimination Method (消去法)

• 透過消去法，將方程式轉化為上三角矩陣，再進行回代求解。
• 步驟：
  1. 將方程式轉化為增廣矩陣。
  2. 進行消去法，將矩陣轉化為上三角矩陣。
  3. 進行回代，求解 。
  4. 重複步驟 3，直至求得所有 。

9.2 Naive Gauss Elimination (高斯消去法)

• 方法：

  1. 已知題目：
  2. 將方程式轉化為增廣矩陣：
  3. 進行消去法，將矩陣轉化為上三角矩陣：
  4. 進行回代，求解 ：

• 舉例：

  1. 已知增廣矩陣：
  2. 進行消去法，將矩陣轉化為上三角矩陣：
     1. 消去：
        
        
     2. 消去：
  3. 進行回代求解：

9.3 Pitfalls of Elimination Methods (消去法的問題)

• 除零問題 (Division by Zero)：當 時，將無法進行消去法。
  • 可使用 Pivotting (樞軸化) 解決此問題。
    1. 先找出最大的係數，將其設為主對角線 (樞紐)。
    2. 進行消去法。
• 捨位誤差 (Round-Off Error)：多次運算後，誤差會傳播放大。(次數大於 100 時影響很大)
  • 可使用 Scaling (縮放) 解決此問題。
    1. 將每一行的係數縮放到最大係數為 1。
    2. 進行消去法。
• 病態矩陣 (III-Conditioing)：當矩陣的條件數 (Condition number) 過大時，將導致誤差放大。
  • Well-Conditioing System (良態系統)
  • III-Conditioing System (病態系統)
    • 假設有聯立方程式：
    • 因此：
    • 而，當 接近 0 時，容易導致誤差放大 (III-Conditioing)。
    • 由於接近 0 難以判斷，在實務上，會讓每一行的係數縮放到最大係數為 1，藉此標準化後以利評估。

9.7 Gauss-Jordan Method (高斯-喬登消去法)

• 原理：透過消去法，將增廣矩陣轉化為單位矩陣。
  • 當增廣矩陣為：
  • 轉化為：
  • 則：

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