5. 內插與曲線擬合

課程筆記

Interpolation (內插)

線性內插 (Linear Interpolation)

• 優缺點：
  • 優點：可以求解出多項式的係數，可以重複使用。
  • 缺點：需要解聯立方程式，計算較為複雜。

由於此較為簡單，直接參考以下例題求解即可。

拉格朗日多項式內插 (Lagrange Polynomials)

• 優缺點：
  • 優點：
    • 可直接計算出多項式的值，不需要先求出未知數。
    • 結構簡單，不需解連立方成組，易於程式化計算。
  • 缺點：
    • 當需重複計算時，每次都需要重新計算。
• 相對高階多項式內插，拉格朗日多像式內插在數值計算上更為方便：
  • 結構更為簡單，易於程式化計算。
  • 可以直接計算出多項式的值，不需要先求出未知數。
• 方法：
  1. Lagrange Polynomials:
  2. 舉例當 ： = + + +

除差法 (Divided Difference)

• 優點：
  • 計算簡單，不需要解聯立方程式。
  • 可以直接計算出多項式的係數（可重複使用）。
  • 可以快速找到多項式的誤差項。
• 方法：n 階除差多項式：++ ++
  • 因此：
    • 0 階除差（1 個數據可以找出 1 個 0 階除差）：
    • 1 階除差（2 個數據可以找出 1 個 1 階除差）：
      • 依此類推
    • 2 階除差（3 個數據可以找出 1 個 2 階除差）：
      • 依此類推
    • n 階除差（n+1 個數據可以找出 1 個 n 階除差）：
      • 依此類推
• 方法：除差表 (Divided Difference Table)：
  • 由於：
    • 依此類推，故：，也就是除差表中第一列的第 n 個數值。

舉例

假設已知：

x	f(x)
3.2	22.0
2.7	17.8
1.0	14.2
4.8	38.3
5.6	51.7

Find f(3.0)

Solution-線性內插

3. 得

Solution-高階多項式內插

1. 假設三階多項式：
2. 故得方程組 (四個未知數，需要四筆數據求未知數)：
3. 使用高斯消去法 || 高斯-賽得法求解未知數，得：
4. 故

Solution-除差法

1. 使用除差表計算：

   • 3.2	22.0	8.400	2.856	-0.528	0.256
     2.7	17.8	2.118	2.012	0.0865
     1.0	14.2	6.342	2.263
     4.8	38.3	16.750
     5.6	51.7

2. 由於 。故， ~ 即為上表中紅色部分。
3. 故
   =++-
4. 因此，
5. 甚至當要使用 n = 4 時：
   ++-+=+
   • 如果 更為精準（數列必須為強收斂），則 為 與 的誤差項。
     • 如果不是強收斂，則此筆數據不適合使用此種多項式內插。
       • 有時候，在高階方程式不一定能夠得到更好的結果，因此需要觀察數據的特性。

等間距內插 (Evenly Spaced Interpolation)

• 使用情境：當數據點間距相等時（如網格數據的內插），可以使用等間距內插法。
• 原理：
  • 等間距，表
  • 以差分方式取代除差
    • 依此類推：

N-G 前推差分多項式 (Newton-Gregory Forward Polynomial)

• • 其中，， 為數據點間距。
    • 當 時，； 時，； 時，；…

• 舉例

  假設已知：

  x	f(x)
  0.4	0.423
  0.6	0.684
  0.8	1.030
  1.0	1.557

  求

  1. 因此可得差分表：

     • 0.4	0.423	0.261	0,085	0.096
       0.6	0.684	0.346	0.181
       0.8	1.030	0.527
       1.0	1.557

  2. 代入
  3. 故 = + + + =

三次訪樣內插 (Cubic Spline Interpolation)

• 原理：每兩點之間以三次多項式內插，稱為三街訪樣。讓曲線在兩點之間更為平滑。

  • 儘管看起來此方法不如七階多項式內插精確，但是在實際應用中，三次訪樣內插更受歡迎。
  • 在已知點的任一個區間均為三次多項式的函數：
    • 當已支點為 個時（），則有 個區間（ 個三次多項式）。與 個未知數。因此，須找透過以下五個條件找到 個未知數的 條件：
      1. 相鄰二條多項式在連接點的函數值相等（ 個方程式）。
      2. 第一個與最後一個函數必須通過端點（ 個方程式）。
      3. 內部連接點的一階導數（斜率）相等（ 個方程式）。
      4. 內部連接點的二階導數（曲率）相等（ 個方程式）。
      5. 兩個端點的二階導數（曲率）為零（ 個方程式）。

• 訪樣：

  • 線性訪樣：
  • 二階訪樣：斜率相等，
  • 三階訪樣：斜率與曲率相等，

• 步驟：

  1. 已知三階訪樣多項式： = + + + ，每個 有四個未知數（）。
  2. 通常設， 與 兩個條件。
  3. =
  4. =
  5. =
  6. =
  7. 求解聯立方程式。

• 舉例

  At true function
  假設只知道以下數據：

  x	f(x)
  0.0	2.0000
  1.0	4.4366
  1.5	6.7134
  2.25	13.9130

  求

Solution

1. 設 與
2. 計算一階除差：

   • 0.0	2.0000	2.4366
     1.0	4.4366	4.5536
     1.5	6.7134	9.5995
     2.25	13.9130

3. 已知：
4. 得：
   1. 當 時：
      ===
   2. 當 時：
      ===
5. 將 與 作為未知數求聯立方程式：
   3. 得： 與

Carve Fitting (曲線擬合)

線性迴歸 (Linear Regression)

最小平方近似法

• 最小平方近似法：
  • 原理：
    1. 直線的數學表示：
    2. 因此誤差：。需要找到誤差最小化的方法：
    3. 如果只對誤差總和求極小誤差，則 求最小值。但是誤差存在正負，因此可能會互相抵，使之可能產生無限多解，不符合目的。
    4. 如果改成使用誤差的絕對值，則 求最小值。可能出現兩個以上的解，因此不符合目的。
    5. 因此，透過誤差平方求最小誤差： 求最小值。此時儘可能存在一組解，使得誤差平方和最小。
  • 算法：
  • 誤差量化：
    • 標準估計誤差 (Standard Error of The Estimate) ()：
      
      其中，殘餘數的平方和：。
      • 表在迴歸直線附近的分散程度。
      • 總標準差 ()：表平均值附近的分散程度：
        。其中，總平方和：。
    • 決定係數 (Coefficient of Determination) ()：
      
      越接近 1，表示迴歸直線越好。其中， 表原始資料由平均值改由迴歸線描述的改善程度。
    • 相關係數 (Correlation Coefficient) ()：

非線性迴歸 (Nonlinear Regression)

• 非線性類別：
  • 指數函數：→
  • 乘冪函數：→
  • 飽和成長率方程式 (Saturating Growth Rate Equation)：→
• 方法：將其轉換為線性迴歸問題，並使用線性迴歸方法求解。最後，再將其轉換回原本的函數形式。

多項式迴歸 (Polynomial Regression)

• 原理：根據最小平方的原理，擴展為高階多項式 ()。
  • 因此，殘餘樹的平方總合 ()：
  • 標準誤差 ()：
• 步驟：
  1. 找出 、、、、、、、…、、、、…、。
  2. 根據：
  3. 求解 、、、…、。

多重線性迴歸 (Multiple Linear Regression)

• 原理：根據多個變數的線性組合，進行迴歸分析。
  • 殘差平方和：
  • 標準誤差：
  • 方程組：
• 多重乘冪迴歸 (Multiple Power Regression)
  • 原理：根據多個變數的乘冪組合，進行迴歸分析。
  • 轉換為線性迴歸問題：

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